Rezystancja zastępcza

Czasami zanim zaczniemy obliczać zadanie związane z obwodem elektrycznym można je uprościć poprzez zamianę kilku rezystorów (lub innnych elementów np. w przypadku analizy obwodów prądu przemiennego metodą symboliczną) na jeden który opisuje rezystancja (w przypadku analizy obwodów prądu przemiennego impedancja) zastępcza.

Istnieje szereg zadań w których obliczenie rezystancji zastępczej jest konieczne z innych powodów - porównaj na przykład Metoda Thevenina lub Metoda Nortona.

Połączenie szeregowe

Jeżeli elementy są połączone szeregowo:

1. Prąd płynący przez nie ma taką samą wartość
2. Rezystancja zastępcza jest sumą rezystancji poszczególnych elementów
\begin{aligned} &R_z=R_1+R_2+...\\ &R_z=\sum{R_i} \end{aligned}

Bardzo ważne jest zauważyć, że kluczowe dla określenia czy elementy są połączone szeregowe jest stwierdzenie czy płynie przez nie taki sam prąd, będzie to lepiej widoczne w przykładach

Połączenie równolegle

Jeżeli elementy są połączone równolegle:

1. Napięcie na nich ma taką samą wartość
2. Konduktancja zastępcza jest sumą konduktancji poszczególnych elementów
\begin{aligned} &G_z=G_1+G_2+...\\ &G_z=\sum{G_i} \end{aligned}
3. Odwrotność rezystancji zastępczej jest sumą odwrotności rezystancji poszczególnych elementów
\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...\\ &\frac{1}{R_z}=\sum{\frac{1}{R_i}}\\ \end{aligned}

Bardzo ważne jest zauważyć, że kluczowe dla określenia czy elementy są połączone równolegle jest stwierdzenie czy występuje na nich takie samo napięcie

Dla jasności - bardzo rzadko jest naprawdę korzystnie użyć wzoru z konduktancją, ale pomaga on zobaczyć zależność która występuje dla takiego połączenia elementów

W praktyce warto też zapamiętać wzór dla dwóch elementów połaczonych równolegle:

\begin{aligned} &\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_1 }+\frac{R_1}{R_2\cdot R_1 }\\ &\frac{1}{R_z}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}\\ &R_z=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\\ \end{aligned}

Jeżeli kiedykolwiek najdzie Cię wątpliwość co jest w mianowniku a co w liczniku pamiętaj że na koniec musi Ci wyjść poprawna jednostka - \(\Omega\), więc mnożenie MUSI być w liczniku ponieważ:

\begin{aligned} &\frac{\Omega\cdot \Omega}{\Omega + \Omega}=\frac{\Omega^2}{\Omega}=\Omega\\ \end{aligned}

a nie:

\begin{aligned} &\frac{\Omega+\Omega}{\Omega \cdot \Omega}=\frac{\Omega}{\Omega^2}=\frac{1}{\Omega}\\ \end{aligned}

Połączenie mieszane (szeregowo – równoległe)

Osobiście bardzo nie lubię tego określenia :-) W praktyce połączenie mieszane trzeba i tak sprowadzić do superpozycji połączeń szeregowych i równoległych więc nie widzę szczególnego powodu dla wyróżniania tego jako osobnego przypadku.

Natomiast w tym miejscu pozwolę sobie na małą dygresję - każda rezystencja zastępcza jest liczona względem dwóch punktów (zacisków), to nie jest jakaś wartość absolutna a jedynie uproszczenie które stosujemy żeby ułatwić sobie życie

Rezystancja zastępcza z praw Kirchhoffa

BARDZO przydatnym podejściem do myślenia o rezystancji zastępczej, szczególnie w bardziej skomplikowanych i nieoczywistych przypadkach które pojawiają się czasami np. w zadaniach z Metody Thevenina jest podejście do niej od strony praw Kirchoffa.

Wyobraźmy sobie na chwilę że pomiędzy zaciskami AB względem których mamy policzyć rezystancję zastępczą występuje napięcie \(U_{AB}\) które powoduje przepływ prądu \(I\)

Oczywistym jest, że \(R_z=\frac{U_{AB}}{I}\)

Dane:

\begin{aligned} R_1 & =30 \\ R_2 & =20 \\ R_3 & =10 \end{aligned}

Korzystając ze wzorów dla połączenia szeregowego i równoległego:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=12\\ &R_{z A B}=R_{12}+R_3=22 \end{aligned}

Korzystając z praw Kirchhoffa:

\begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1 \cdot R_1=I_2 \cdot R_2 \\ & U_{A B}=I_2 \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned}

Obliczamy:

\begin{aligned} & I_1=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1} \\ & I=\frac{I_2 \cdot R_2}{R_1}+I_2 \\ & I_2=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \\ & U_{A B}=\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3 \\ & R_{z A B}=\frac{\frac{R_1 \cdot I}{R_2+R_1} \cdot R_2+I \cdot R_3}{I}=\frac{R_1}{R_2+R_1} \cdot R_2+R_3=22 \end{aligned}

I jasne, że to nie jest de facto obliczanie rezystancji zastępczej, ale w bardziej złożonych przypadkach ten sposób myślenia potrafi bardzo pomóc chociaż same obliczenia z reguły będą bardziej skomplikowane

Przykład 1

Dane:

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned}
\begin{aligned} &R_{12}=R_1+R_2=30\\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{45}=R_4+R_5=30 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & R_{345}=\frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3+R_{45}}=7.5 \end{aligned} \begin{aligned} &R_z=R_{12}+R_{345}=37.5 \end{aligned}

Przykład 2

Dane:

\begin{aligned} & R_1=10 \\ & R_2=20 \\ & R_3=10 \\ & R_4=10 \\ & R_5=20 \end{aligned} \begin{aligned} & I=I_1+I_2 \\ & I_1+I_2=I_3+I_4 \\ & I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 \\ & -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 \\ & -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 \\ & R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I} \end{aligned} \begin{array}{ll} -U_{A B}+I_3 \cdot R_3+I_1 \cdot R_1=0 & U_{A B}=10 \cdot I_3+10 \cdot I_1 \\ -I_3 \cdot R_3+I_4 \cdot R_4+I_4 \cdot R_5=0 & I_4=\frac{I_3}{3} \\ I_1 \cdot R_1-I_2 \cdot R_2=0 & I_2=\frac{I_1}{2} \\ I=I_1+I_2 & I_1=I-I_2=\frac{2 \cdot I}{3} \\ I-\frac{I_1}{2}+\frac{I_1}{2}=I_3+\frac{I_3}{3} & I_3=\frac{3 \cdot I}{4} \end{array} \begin{aligned} &U_{A B}=10 \cdot \frac{3 \cdot I}{4}+10 \cdot \frac{2 \cdot I}{3}=\frac{85 \cdot I}{6}\\ &R_{z A B}=\frac{U_{A B}}{I}=\frac{85}{6}=14.167 \end{aligned}

Dla porównania korzystając ze wzorów na rezystancję zastępczą:

\begin{aligned} &R_{12}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}=6.667\\ & R_{45}=R_4+R_5=30 \\ & R_{345}=\frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3+R_{45}}=7.5 \\ & R_{z A B}=R_{12}+R_{345}=14.167 \end{aligned}