Obliczenie połączenia na rozciąganie i ścinanie

W zadaniach ze ścinania technicznego najtrudniejszym elementem jest znalezienie (dostrzeżenie) powierzchni elementu która jest ścinania, która dociskana, a która pracuje na rozciąganie. W tym klasycznym przykładzie powierzchnie te zaznaczono na poniższym rysunku

Na początek obliczymy połączenie na rozciąganie i ścinanie korzystając z warunku wytrzymałości. Na ilustracji oznaczono powierzchnie rozciąganą i ścinaną:

powierzchnia rozciągana\( A_r\) – kolor różowy

powierzchnia ścinana \(A_t\) – kolor szary

Obliczenie połączenia na rozciąganie

\begin{aligned} \sigma_{r}=\frac{P}{A_{r}} \leq k_{r} \end{aligned}

Pole powierzchni rozciąganej:

\begin{aligned} A_{r}=\frac{\pi d^{2}}{4} \end{aligned}

Podstawiając:

\begin{aligned} \frac{P}{\frac{\pi d^{2}}{4}} \leq k_{r} \rightarrow \frac{4 P}{\pi d^{2}} \leq k_{r} \end{aligned}

Przekształcamy, aby otrzymać średnicę:

\begin{aligned} d \geq \sqrt{\frac{4 P}{\pi k_{r}}} \end{aligned}

Podstawiając na wartościach:

\begin{aligned} &d \geq \sqrt{\frac{4 \cdot 37 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 120 \cdot 10^{6}}} \\ &d \geq 0,0198 m \end{aligned}

Przyjmujemy

\begin{aligned} d=0,02 \mathrm{~m}=2 \mathrm{~cm} \end{aligned}

Obliczenie połączenia na ścinanie

\begin{aligned} \sigma_{t}=\frac{P}{A_{t}} \leq k_{t} \end{aligned}

Pole powierzchni ścinanej:

\begin{aligned} A_{t}=2 \pi h r \end{aligned}

Ponieważ \(r=\frac{d}{2}\):

\begin{aligned} A_{t}=2 \pi h \frac{d}{2}=\pi h d \end{aligned}

Podstawiając

\begin{aligned} \frac{P}{\pi h d} \leq k_{t} \end{aligned}

Przekształcamy, aby otrzymać h:

\begin{aligned} h \geq \frac{P}{\pi d k_{t}} \end{aligned}

Podstawiając na wartościach:

\begin{aligned} &h \geq \frac{37 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 0,02 \cdot 70 \cdot 10^{6}} \\ &h \geq 8,41 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m} \end{aligned}

Przyjmujemy:

\begin{aligned} h=9 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}=10 \mathrm{~mm} \end{aligned}

Obliczenie połączenia na docisk

Następnie obliczymy połączenie na docisk korzystając z warunku wytrzymałości. Na ilustracji oznaczono powierzchnię dociskaną.

\begin{aligned} \sigma_{d}=\frac{P}{A_{d}} \leq k_{d} \end{aligned}

Pole powierzchni dociskanej:

\begin{aligned} A_{d}=\frac{\pi D^{2}}{4}-\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right) \end{aligned}

Podstawiamy i przekształcamy:

\begin{aligned} &\frac{4 P}{\pi\left(D^{2}-d^{2}\right)} \leq k_{d} \rightarrow 4 P \leq \pi k_{d}\left(D^{2}-d^{2}\right) \\ &4 P \leq \pi k_{d} D^{2}-\pi k_{d} d^{2} \rightarrow \pi k_{d} D^{2} \geq 4 P-\pi k_{d} d^{2} \\ &D \geq \sqrt{\frac{4 P-\pi k_{d} d^{2}}{\pi k_{d}}} \\ &D \geq \sqrt{\frac{4 P}{\pi k_{d}}-d^{2}} \end{aligned}

Podstawiając na wartościach:

\begin{aligned} &D \geq \sqrt{\frac{4 \cdot 37 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 180 \cdot 10^{6}}-(0,02)^{2}} \\ &D \geq 0,0257 m \end{aligned}

Przyjmujemy:

\begin{aligned} D=0,026 \mathrm{~m}=2,6 \mathrm{~cm} \end{aligned}