Edupanda » Wytrzymałość materiałów » Twierdzenia o prętach zerowych
Twierdzenia o prętach zerowych
Z tego tekstu dowiesz się jakie są twierdzenia o prętach zerowych oraz znajdziesz przykłady kratownic z wyznaczeniem prętów zerowych
↓ odnośnik do bazy zadań z rozwiązaniami oraz do kursów wideo ↓
Kratownica (ang. truss) – układ złożony z prętów prostych, połączonych między sobą w węzłach przegubowo, obciążony siłami skupionymi w przegubach. Połączenia przegubowe ciągną za sobą konsekwencję taką, że siły przekrojowe w prętach kratownicy to wyłącznie siły osiowe (podłużne, normalne).
↓ odnośnik do bazy zadań z rozwiązaniami oraz do kursów wideo ↓
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(wskazać pręty zerowe oraz
wyznaczyć siły w prętach metodą Rittera)
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(wskazać pręty zerowe oraz
wyznaczyć siły w prętach metodą równoważenia węzłów)
Zobacz zadania z tego działu!
(wyznaczyć siły w prętach metodą równoważenia węzłów)
Zobacz zadania z tego działu!
(wyznaczyć siły w prętach metodą Rittera)
Kratownica (ang. truss) – układ złożony z prętów prostych, połączonych między sobą w węzłach przegubowo, obciążony siłami skupionymi w przegubach. Połączenia przegubowe ciągną za sobą konsekwencję taką, że siły przekrojowe w prętach kratownicy to wyłącznie siły osiowe (podłużne, normalne).
Twierdzenia o prętach zerowych
![Pierwsze twierdzenie o prętach zerowych](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_300/v1661231020/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/prety-zerowe-1-1_c8tcv6.png
)
Twierdzenie I
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest nieobciążony, to siły wewnętrzne w obu prętach są równe zeru.![Drugie twierdzenie o prętach zerowych](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1661231021/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/prety-zerowe-2-1_ufibct.png
)
Twierdzenie II
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku jednego z nich, to siła wewnętrzna w drugim pręcie jest równa zero.![Trzecie twierdzenie o prętach zerowych](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1661231022/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/prety-zerowe-3_ojzvj1.png
)
Twierdzenie III
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 3 pręty, z których dwa leżą na tej samej prostej i węzeł jest nieobciążony, to siła w trzecim pręcie jest równa zero.Przykład 1
Zobacz wstęp teoretyczny dla metody Rittera
Zobacz wstęp teoretyczny dla Metody równoważenia węzłów
![solution-shape](https://edupanda1.blob.core.windows.net/assets/images/single-task/solution-shape.png)
Przykład 2
Treść
Dla kratownicy jak na rysunku podaj ile jest prętów zerowych?
![Przykład 1-pręty zerowe](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793013/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys1_vs9ium.png)
Rozwiązanie
![Rozwiązanie-przykład1-1](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793013/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys2_nkczqi.png)
Krok 1
Ponumerowanie prętów, oznaczenie węzłów.![Rozwiązanie-przykład1-2](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793014/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys3_xjndjb.png)
Krok 2
Zauważam z II twierdzenia, że pręt nr 1 jest zerowy i zaznaczam ten pręt na brązowo "0".![Rozwiązanie-przykład1-3](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793064/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys4_wvofbf.png)
Krok 3
Równocześnie zauważam, że z III twierdzenia pręt numer 6 jest zerowy - zaznaczam go.![Rozwiązanie-przykład1-4](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793067/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys5_jzibyb.png)
Krok 4
I teraz najciekawszy krok, musimy spojrzeć na węzeł B, jeżeli wytypowaliśmy wcześniej pręt nr 1 jako zerowy, to teraz można powiedzieć że do węzła B schodzą się dwa, a nie trzy pręty (bo jeden w tym przypadku jest zerowy). W takim razie z pierwszego twierdzenia - jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty i jest on nieobciążony to obydwa pręty są zerowe - pręty numer 3 i 4 będą zerowe.Przykład 3
Treść
Dla kratownicy jak na rysunku podaj ile jest prętów zerowych?
![Przykład 2-pręty zerowe](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793067/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys6_zcitig.png)
Rozwiązanie
![Rozwiązanie-przykład2-1](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793067/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys7_pjw3uh.png)
Krok 1
Ponumerowanie prętów, oznaczenie węzłów.![Rozwiązanie-przykład2-2](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793068/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys8_g1n1ch.png)
Krok 2
Zauważam z II twierdzenia, że pręt nr 2 jest zerowy i zaznaczam ten pręt na brązowo "0".![Rozwiązanie-przykład2-3](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793068/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys9_gqtfy3.png)
Krok 3
Równocześnie zauważam, że z III twierdzenia pręt numer 4 jest zerowy (patrzę na węzeł B).![Rozwiązanie-przykład2-4](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793071/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys10_zthndr.png)
Krok 4
Z uwagi na to że pręty 2 i 4 są zerowe, to jak spojrzymy na węzeł D, zobaczymy, że działa na niego teraz siła w pręcie 5 oraz reakcja VD.Z twierdzenia II określamy, że pręt nr 5 jest zerowy.
Przykład 4
Treść
Dla kratownicy jak na rysunku podaj ile jest prętów zerowych?
![Przykład 3-pręty zerowe](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793069/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys11_nyli6f.png)
Rozwiązanie
Krok 1
Ponumerowanie prętów, oznaczenie węzłów.
![Rozwiązanie-przykład3-1](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793070/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys12_ublisy.png)
Krok 2
Zauważam z II twierdzenia, że pręty: nr 5 oraz nr 6 są zerowe. Zauważam również, że pręt nr 11 jest zerowy (z III twierdzenia) i zaznaczam te pręty na brązowo "0".
![Rozwiązanie-przykład3-2](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793069/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys13_uudc1v.png)
Krok 3
Usuwam z kratownicy myślowo zerowe pręty i zauważam, że w węźle F zostały dwa pręty i jest on nieobciążony - wobec tego pręt nr 7 i nr 14 są zerowe (I twierdzenie).
W węźle D zostały trzy pręty, z czego dwa są współliniowe i węzeł jest nieobciążony, więc z III twierdzenia pręt nr 10 jest zerowy.
![Rozwiązanie-przykład3-3](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793071/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys14_tjiike.png)
Krok 4
Usunąłem myślowo kolejne zerowe pręty i teraz zauważam, że w węźle G ma zastosowanie II twierdzenie. W węźle są dwa pręty, z czego reakcja VG działa pionowo, czyli współliniowo do pręta 8, a więc pręt nr 15 będzie zerowy.
![Rozwiązanie-przykład3-4](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1694793072/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/sily_wewnetrzne/kratownice/teoria/rys15_k4pk13.png)
Tym sposobem aż 7 prętów wytypowaliśmy jako pręty zerowe.
↓ odnośnik do bazy zadań z rozwiązaniami oraz do kursów wideo ↓
Zobacz ofertę i cenę korepetycji
![]() |
Łukasz CichowiczTel: +48 780 155 029E-mail: lukasz@edupanda.pl Skype: edupandapl |