Przykład 2

Rozwiąż belkę i zwymiaruj przekrój pręta, \( k_c= 160 MPa, k_r=120 Mpa \).

single-task-hero-img

Rozwiązanie

Zachęcamy do obejrzenia rozwiązania tego przykładu (jak i pozostałych) na naszym kanale YouTube. Wyjaśniam w nim krok po kroku jak należy rozwiązać to zadanie. Obejrzenie tego filmiku pomoże Wam również zrozumieć pozostałe przykłady na naszej stronie.

Reakcje

\begin{aligned}\\ &\sum{M_A}=0\\ &10+5\cdot 3\cdot \frac{3}{2}-3\cdot V_B=0 & V_B=10,83\ kN\\ &\sum{M_B}=0\\ &10+3\cdot V_A-3\cdot 5\cdot \frac{3}{2}=0 & V_A=4,17\ kN\\ &\sum{Y}=0 & V_A+V_C-5\cdot 3=0\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &Q_{AB}=4,17-5x & Q_{AB}=0\\ &Q_A(0)=4,17\ kN & x=0,834\ m\\ &Q_B(3)=-10,83\ kN\\ &M_{AB}=10+4,17x-5x\cdot \frac{x}{2}\\ &M_A(0)=10\ kNm & M_B(3)=0\ kNm\\ &M_{max}(0,834)=11,739\approx 11,74\ kNm \end{aligned}

Wykres sił poprzecznych i momentów zginających

Wymiarowanie

\begin{aligned}\\ &k_r=120\ MPa & k_c=160\ MPa\\ &z_1=6a & A_1=12a\cdot 16a=192a^2\\ &z_2=a & A_2=10a\cdot 12a=120a^2\\ &z_c=\frac{z_1\cdot A_1-z_2\cdot A_2}{A_1-A_2}=4,33a\\ &I_{y_c}=\frac{16\cdot 12^3}{12}+192(6-4,33)^2-[\frac{12\cdot 10^3}{12}+120(7-4,33)^2]=984a^4\\ \end{aligned}

Większa jest odległość od środka ciężkości do włókien górnych, więc naprężenia na włóknach górnych będą większe. Włókna górne są ściskane, a dolne rozciągane. Większe naprężenia (ściskające) na włóknach górnych spotykają się z większą wytrzymałością na ściskanie, a (mniejsze) naprężenia rozciągające spotykają się z mniejszą wytrzymałością na rozciąganie. Wobec tego nie jesteśmy w stanie stwierdzić jednoznacznie który warunek będzie decydujący, więc należy sprawdzić obydwa warunki.

\begin{aligned}\\ &W_g=\frac{I_{y_c}}{z_g}=\frac{984a^4}{7,67a}=128,29a^3\\ &W_d=\frac{I_{y_c}}{z_d}=\frac{984a^4}{4,33a}=227,25a^3\\ \\ &\frac{M_{max}}{W_g}\le k_c \Rightarrow \frac{11,74\cdot 10^3}{128,29a^3}\le 160\cdot 10^6\\ &a\ge 8,3\ mm\\ &\frac{M_{max}}{W_d}\le k_r \Rightarrow \frac{11,74\cdot 10^3}{227,25a^3}\le 120\cdot 10^6\\ &a\ge 7,55\ mm\\ \\ &a=9\ mm\\ &\sigma_g=\frac{11,74\cdot 10^3}{128,29\cdot (9\cdot 10^{-3})^3}=125,53\ MPa\\ &\sigma_d=\frac{11,74\cdot 10^3}{227,25\cdot (9\cdot 10^{-3})^3}=70,866\ MPa\\ \end{aligned}

Wykres naprężeń