Edupanda » Wytrzymałość materiałów » Rozciąganie i ściskanie osiowe
Rozciąganie i ściskanie osiowe
- kiedy mamy do czynienia z rozciąganiem
- o konwencji dodatniego znakowania siły normalnej
- czym jest i jaki jest wzór na:
a) wydłużenie pręta
b) odkształcenia pręta rozciąganego
c) naprężenia normalne
- czym jest liczba Poissona
- jaka jest postać tensora naprężenia i odkształcenia dla pręta rozciąganego
- jak obliczyć energię sprężystą dla pręta rozciąganego
- jak wygląda kostka naprężeń oraz koło Mohra dla przypadku rozciągania osiowego
Znajdziesz również przykłady obliczeniowe i kursy wideo na dole strony oraz
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz 4 zadania z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz 17 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz 11 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz zadania z użyciem podstawowych definicji
Kiedy mamy do czynienia z rozciąganiem osiowym?
Rozciąganie/ściskanie osiowe pręta występuje, gdy wszystkie siły działające na przekrój poprzeczny z jednej strony sumują się w taki sposób, że tworzą pojedynczą siłę skierowaną prostopadle do przekroju. Ta siła działa wzdłuż osi pręta i jest zaczepiona w jego środku ciężkości.![rozciaganie osiowe](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1696591818/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys1-rozciaganie_wxyxqp.png
)
Rys1. Rozciąganie osiowe pręta kołowego
Konwencja dodatniego znakowania siły normalnej
Jeśli kierunek działania tej siły jest taki sam jak normalna (prostopadła) do powierzchni zewnętrznej pręta, nazywamy ją siłą rozciągającą, a jej wartości przypisujemy znak dodatni.![Znakowanie sił normalnych/osiowych](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1696594945/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys2-znakowanie_xpoudi.png
)
Rys2. Znakowanie sił normalnych/osiowych
Wydłużenie pręta albo jego części obliczamy tak:
Całkowita zmiana długości pręta jest całką oznaczoną (po długości) z funkcji odkształceń podłużnych:\[ \Delta l=\int_0^l \varepsilon_x d x=\int_0^l \frac{N(x)}{E A} d x \] Jeżeli mamy do czynienia z prętem jednorodnym o określonej sztywności na rozciąganie (\(EA=\) const \()\) poddanym działaniu siły normalnej o stałej wartości \((N=\) const \()\), a nie funkcją siły normalnej, która może być związana choćby z uwzględnieniem ciężaru własnego, to otrzymujemy:
\[ \Delta l=\int_0^l \frac{N}{E A} d x=\frac{N}{E A} \int_0^l d x=\frac{N l}{E A} . \]
gdzie:
N - siła normalna lub N(x) - funkcja siły normalnej
l - długość pręta, lub części pręta
E - moduł Younga (stała materiałowa)
A - pole przekroju poprzecznego
Odkształcenia pręta rozciąganego
a) wpływ obciążenia statycznego
![Wydłużenie pręta i zmiana wymiarów](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697463115/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys3-wydluzenie-odksztalcenie_vtkd4z.png
)
Rys3. Wydłużenie pręta i zmiana wymiarów
obliczymy w następujący sposób:
\[ \varepsilon_x=\frac{\Delta L}{L}=\frac{L_k-L}{L} \] \[ \varepsilon_y=\frac{\Delta d}{d}=\frac{d_k-d}{d} \] \[ \varepsilon_z=\frac{\Delta d}{d}=\frac{d_k-d}{d} \]
b) wpływ obciążenia pozastatycznego
Pręt może zmieniać swoją długość również ze względu na oddziaływania pozastatyczne, takie jak równomierne podgrzewanie pręta w stosunku do jego temperatury początkowej (temperatury montażu). Odkształcenia termiczne które powstają w pręcie od obciążenia równomiernym podgrzaniem lub oziębieniem pręta wyrażamy wzorem: \[ \varepsilon_{x(T)}=\alpha_t \cdot t_0 \] \( \quad \) gdzie:\( \quad \) - \(t_0\) - różnica temperatury pręta w porównaniu do jego pierwotnej temperatury wyrażona w kelwinach \( [K] \) lub stopniach Celsjusza \( [^oC] \) (różnica temperatur w obu skalach zawsze jest taka sama)
\( \quad \) - \( \alpha_t \) - współczynnik rozszerzalności termicznej, definiowany jako jednostkowa zmiana długości wywołana zmianą temperatury o \( 1K / 1^oC \) wyrażona w \( \frac{1}{K} \) lub \( \frac{1}{^oC} \)
Zmianę długości pręta o długości \(l\) pod działaniem równomiernej temperatury wyrazimy wzorem: \[ \Delta l_T=\varepsilon_{x(T)} \cdot l=\alpha_t \cdot t_0 \cdot l \] A więc jeżeli na pręt działa obciążenia statyczne i termiczne, wówczas możemy zapisać: \[ \Delta l=\Delta l_N+\Delta l_T=\int_0^l \frac{N(x)}{E A} d x+ \alpha_t \cdot t_0 \cdot l \]
Zależności między odkształceniami podłużnymi i poprzecznymi określa Liczba Poissona
Zmianę objętości obliczymy z zależności: \( \Delta V=(ε_x+ε_y+ε_z)\cdot V \)
V - objętość początkowa pręta
Liczba Poissona
Liczba Poissona to materiałowa stała fizyczna, która opisuje związek między odkształceniem poprzecznym (zmianą szerokości) a odkształceniem podłużnym (zmianą długości) w materiale.Konkretniej, liczba Poissona (najczęściej oznaczana symbolem \( \nu \) ) jest stosunkiem względnego odkształcenia poprzecznego do względnego odkształcenia podłużnego w materiale.
Wyraża się ją jako:
\[ \nu = - \frac{ε_{poprzeczne}}{ε_{podłużne}} \] gdzie:
\( \quad \nu \) to liczba Poissona,
\( \quad ε_{poprzeczne} \) to względne odkształcenie poprzeczne,
\( \quad ε_{podłużne} \) to względne odkształcenie podłużne.
w przykładzie powyżej zapisalibyśmy:
\[ \nu = - \frac{ε_y}{ε_x} \] \[ \nu = - \frac{ε_z}{ε_x} \] lub przekształcając:
\[ ε_y = - \nu \cdot ε_x \] \[ ε_z = - \nu \cdot ε_x \] Liczba Poissona jest ważna w analizie wytrzymałości materiałów, ponieważ pozwala określić, w jaki sposób materiał zachowuje się pod obciążeniem, zwłaszcza w kontekście jego elastyczności i odporności na odkształcenia.
Różne materiały mają różne liczby Poissona, co wpływa na ich właściwości mechaniczne i zachowanie pod obciążeniem. Na przykład, dla niektórych materiałów ν jest bliskie 0, co oznacza, że zmiany w jednym kierunku (poprzecznym) są praktycznie niezauważalne w przypadku odkształceń w innym kierunku (podłużnym).
W innych materiałach ν może być większe, co oznacza większą zmienność w tych odkształceniach.
Naprężenia normalne
Rys4. Rozkład naprężeń normalnych
Wzór na naprężenia normalne przy rozciąganiu/ściskaniu osiowym w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego wygląda następująco: \[ \sigma=\frac{N}{A} \] gdzie:
N - siła normalna (osiowa),
A - pole przekroju poprzecznego pręta.
Postać tensora naprężenia i odkształcenia dla pręta rozciąganego/ściskanego osiowo:
\begin{aligned} T_\sigma=\left[\begin{array}{ccc} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad T_{\varepsilon}=\left[\begin{array}{ccc} \varepsilon_x & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_y & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_z \end{array}\right] \end{aligned}Energia sprężysta dla pręta rozciąganego/ściskanego osiowo
Dla pręta o jednym przedziale charakterystycznym: \[U=\int_0^L \frac{N^2(x)}{2 E A} d x\] Dla pręta o większej liczbie przedziałów (jeśli zmienia się na długości pręta przekrój lub materiał lub jeżeli w różnych miejscach mamy obciążenie siłami osiowymi) wówczas musimy zrobić sumowanie po wszystkich przedziałach charakterystycznych: \[U=\sum_{i=1}^n \int_0^{L_i} \frac{N_i^2(x)}{2 E_i A_i} d x\]Kostka naprężeń dla przypadku rozciągania/ściskania osiowego, naprężenia i kierunki główne, koło Mohra
Jeżeli mamy do czynienia z rozciąganiem, wówczas naprężenie \( \sigma_1=\frac{N}{A} \) jest to maksymalne naprężenie, a więc główne. Minimalne naprężenia jest równe \( \sigma_2=0 \).Jeżeli mamy do czynienia ze ściskaniem, wówczas naprężenie \( \sigma_2=\frac{-N}{A} \) jest to minimalne naprężenie, a więc główne. Maksymalne naprężenia jest równe \( \sigma_1=0 \).
Naprężenia styczne są równe 0.
![Kostki naprężeń rozciąganie](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697551082/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys5-kostki-naprezen-rozciaganie_rrbigt.png)
Rys5. Kostki naprężeń przy rozciąganiu
a) naprężenia główne
b) kostka obrócona o 45 stopni - stan z maksymalnymi naprężeniami stycznymi
Rozważmy jednak jeszcze przekrój nachylony pod kątem \( 45^o \) do osi pręta, ponieważ w tym przekroju występują w pręcie rozciąganym/ściskanym maksymalne naprężenia styczne.
Wzór na maksymalne i minimalne naprężenia styczne w płaskim stanie naprężenia: \[ \begin{aligned} & \tau_{\max }=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{\sigma}{2}, \\ & \tau_{\min }=-\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{- \sigma}{2} \end{aligned} \] Skąd wiemy, że maksymalne naprężenie styczne w tym przypadku wystąpi pod kątem \( 45^o \)?
Jeśli wiemy, że wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi \( \tau_{max}=\frac{\sigma}{2} \) oraz że \( \sigma_1=\sigma \) i \( \sigma_2=0 \), gdzie \( \sigma=\frac{N}{A} \) to skorzystamy ze wzoru opisującego stan naprężenia w przekroju nachylonym pod kątem \( \alpha \) do kierunku większego naprężenia głównego: \[ \tau_\alpha=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \] podstawiamy dane: \[ \frac{\sigma}{2}=\frac{\sigma-0}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \quad |:\frac{\sigma}{2} \\ 1=\sin (2 \alpha) \quad | asin ( ) \\ asin (1) = 2 \alpha \\ 90^o = 2 \alpha \\ \alpha = 45^o \] Jakie są w takim razie naprężenia normalne w przekroju obróconym o \( 45^o \)? Określa to wzór: \[ \sigma_\alpha=\sigma_1 \cos ^2 \alpha+\sigma_2 \sin ^2 \alpha=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} \cos (2 \alpha) \] podstawiamy dane: \[ \sigma_\alpha=\sigma \cos ^2 (45^o) +0 \cdot \sin ^2 \alpha=\frac{\sigma}{2} \]
koło Mohra
![Koło Mohra - rozciąganie osiowe](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697560915/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys6-kolo_Mohra-rozciaganie_xhu7jl.png)
Rys6. Koło Mohra - rozciąganie osiowe
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz 4 zadania z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz 17 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz 11 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz zadania z użyciem podstawowych definicji
Przejdźmy teraz z teorii do praktyki
Z tego działu mamy bardzo dużo darmowych kursów wideo, które znajdziesz poniżej.Naciśnij napis pod miniaturą poniżej aby przewinąć do zadania które Cię interesuje.
Pojedyncze pręty - układy statycznie wyznaczalne | Układy prętów - statycznie wyznaczalne | Zadania statycznie niewyznaczalne |
---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Zobacz ofertę i cenę korepetycji
![](https://edupanda1.blob.core.windows.net/assets/images/private-lessons/instructor-profile1.png)
Łukasz Cichowicz
Tel: +48 780 155 029E-mail: lukasz@edupanda.pl
Skype: edupandapl
Przykład 1
Treść
Dwustopniowy pręt został trwale utwierdzony końcem A i obciążony siłami P oraz 2P jak na rysunku. Obliczyć średnicę obu prętów, znając naprężenia dopuszczalne na ściskanie i rozciąganie.Narysować wykresy sił wewnętrznych, naprężeń normalnych oraz wydłużeń i przemieszczeń pręta.
Dane: \(P=10 kN, E=2,1\cdot 10^{5} MPa, a=1 m, k_{r}=60 MPa, k_{c}=80 MPa\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys7-zad1_eygzzb.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
![](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697801681/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys7.1_nlewvl.png
)
Obliczenie rekacji
\begin{aligned} &\sum X=0 \\ &R_{A}+2 P-P=0 \\ &R_{A}=-P \\ \end{aligned} Zapisanie sił normalnych na przedziałach charakterystycznych
\begin{aligned} &N_{1}=-P=-10 k N \\ &N_{2}=-P=-10 k N \\ &N_{3}=-P+2 P=P=10 k N \\ \end{aligned} Warunek wytrzymałości
\begin{aligned} &\sigma=\left|\frac{N}{A}\right| \leq k_{r}, k_{c} \end{aligned} Ściskanie \begin{aligned} &\frac{10 \cdot 10^{3}}{A} \leq 80 \cdot 10^{6} \\ &A \geq \frac{10 \cdot 10^{3}}{80 \cdot 10^{6}} \\ &A \geq 1,25 \cdot 10^{-4}\left[\mathrm{~m}^{2}\right] \end{aligned}
Rozciąganie
\begin{aligned} &\frac{10 \cdot 10^3}{2 A} \leq 60 \cdot 10^{6} \\ &2 A \geq \frac{10 \cdot 10^{3}}{60 \cdot 10^{6}} \\ &A \geq 8,33 \cdot 10^{-5}=0,833 \cdot 10^{-4}\left[\mathrm{~m}^{2}\right] \end{aligned} Decyduje warunek na rozciąganie. Wymiarowanie średnicy: \begin{aligned} &A \geq 1,25 \cdot 10^{-4} \\ &\frac{\pi d^{2}}{4} \geq 1,25 \cdot 10^{-4} \\ &d \geq \sqrt{\frac{4 \cdot 1,25 \cdot 10^{-4}}{\pi}} \\ &d \geq 0,0126 \\ &d=0,013 \ [m]\\ \end{aligned} Pole przekroju na zwymiarowanej średnicy: \begin{aligned} &A=\frac{\pi \cdot 0,013^{2}}{4}=1,327 \cdot 10^{-4} \end{aligned} Naprężenia na przedziałach charakterystycznych: \begin{aligned} \sigma_{1} &=\frac{N_{1}}{A}=-\frac{10 \cdot 10^{3}}{1,327 \cdot 10^{-4}}=-75,36 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{2} &=\frac{N_{2}}{2 A}=-\frac{10 \cdot 10^{3}}{2 \cdot 1,327 \cdot 10^{-4}}=-37,68 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{3} &=\frac{N_{3}}{2 A}=\frac{10 \cdot 10^{3}}{2 \cdot 1,327 \cdot 10^{-4}}=37,68 \mathrm{MPa} \end{aligned} Wydłużenia \begin{aligned} &\Delta l=\frac{N \cdot l}{E \cdot A} \\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1} \cdot l_{1}}{E \cdot A}=\frac{-10 \cdot 10^{3} \cdot 2 \cdot 1}{2,1 \cdot 10^{11} \cdot 1,327 \cdot 10^{-4}}=-7,18 \cdot 10^{-4}[\mathrm{~m}]=-7,18 \cdot 10^{-4}[\mathrm{~mm}]=-0,718[\mathrm{~mm}] \\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1} \cdot l_{1}}{E \cdot 2 A}=\frac{-10 \cdot 10^{3} \cdot 1 \cdot 1}{2,1 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 1,327 \cdot 10^{-4}}=-1,79 \cdot 10^{-4}[\mathrm{~m}]=-0,179[\mathrm{~mm}] \\ &\Delta l_{1}=\frac{N_{1} \cdot l_{1}}{E \cdot 2 A}=\frac{10 \cdot 10^{3} \cdot 2 \cdot 1}{2,1 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 1,327 \cdot 10^{-4}}=1,79 \cdot 10^{-4}[\mathrm{~m}]=0,179[\mathrm{~mm}] \end{aligned} Podsumowanie: \begin{aligned} &N_{1}=10 k N \\ &N_{2}=-10 k N \\ &N_{3}=10 k N \\ &\sigma_{1}=-75,36 \mathrm{MPa} \\ &\sigma_{2}=-37,68 \mathrm{MPa} \\ &\sigma_{3}=37,68 \mathrm{MPa} \\ &\Delta l_{3}=0,179 \mathrm{~mm} \\ &\Delta l_{2}=-0,179 \mathrm{~mm} \\ &\Delta l_{1}=-0,718 \mathrm{~mm} \\ \end{aligned} Przemieszczenia \begin{aligned} &u_{I I I}=\Delta l_{3}=0,179 \mathrm{~mm} \\ &u_{I I}=\Delta l_{3}+\Delta l_{2}=0,179-0,179=0 \mathrm{~mm} \\ &u_{I}=\Delta l_{3}+\Delta l_{2}+\Delta l_{1}=-0,718 \mathrm{~mm} \end{aligned} Wykresy![](
https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1645735851/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-06/statycznie_wyznaczalne016_01-901x1024_nikcec.png
)
Przykład 2
Treść
Dwustopniowy pręt został trwale utwierdzony końcem D i obciążony siłami P oraz 2P jak na rysunku.
Obliczyć jaka musi być wartość siły F, aby \(\Delta_l=0\)
Dane: \( d_1=20 cm, d_2=15 cm, E=2,1\cdot10^5 MPa, P=15 kN \)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys8-zad2_pqfmy0.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Siły normalne na przedziałach charakterystycznych \begin{aligned} &N_{AB}=F\\ &N_{BC}=F-P\\ &N_{CD}=F-P+2P=F+P\\ \end{aligned} Wyrażam jedno pole przekroju za pomocą drugiego, żeby uprościć sobie dalsze obliczenia \begin{aligned} &\frac{A_{AB}}{A_{BC}}=\frac{\frac{\pi\cdot d_2^2}{4}}{\frac{\pi\cdot d_1^2}{4}}=\frac{d_2^2}{d_1^2}=\frac{9}{16}=0,5625\\ &A_{AB}=0,5625\cdot A_{BC}\\ \end{aligned} Rozwiązuje warunek z treści zadania - całkowite wydłużenie ma być równe zero \begin{aligned} &\Delta_{l_C}=\Delta_{l_{AB}}+\Delta_{l_{BC}}+\Delta_{l_{CD}}\\ &\Delta_l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ \end{aligned} \begin{aligned}\\ &\frac{F\cdot 4}{E\cdot 0,5625\cdot A_{BC}} + \frac{(F-P)\cdot 3}{E\cdot A_{BC}} + \frac{(F+P)\cdot 1}{E\cdot A_{BC}}=0 \ \ \ |\cdot EA_{BC}\\ &\frac{4}{0,5625}F + 3F - 3P + F + P=0\\ &11,11F=2P\\ &F=0,18\cdot 15\cdot 10^{3}\\ &F=2,7 \ kN\\ \end{aligned} Sprawdzenie \begin{aligned} &\frac{2,6\cdot 10^{3}\cdot 4}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\frac{\pi\cdot 0,15^{2}}{4}} + \frac{-12,3\cdot 10^{3}\cdot 3}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\frac{\pi\cdot 0,2^{2}}{4}}+\frac{17,7\cdot 10^{3}\cdot 1}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\frac{\pi\cdot 0,2^{2}}{4}}=6,17\cdot 10^{-9} \approx 0\\ \end{aligned}Przykład 3
Treść
Oblicz średnicę wewnętrzną otworu, który można wywiercić osiowo na głębokości 3 metrów.
Dane: \(D=20 cm, E=85 GPa, P=15 kN, u_{max}=0,15 mm\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys9-zad3_wkpqyh.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Warunek z treści zadania jest na maksymalne przemieszczenie "u". Wystąpi ono w jednym z punktów charakterystycznych A lub B \begin{aligned} &u_{B}=\Delta l_{BC}\\ &u_{A}=\Delta l_{BC}+\Delta l_{AB}\\ \end{aligned} Siły normalne na przedziałach charakterystycznych \begin{aligned} &N_{AB}=3P\\ &N_{BC}=3P-P=2P\\ \end{aligned} Siły normalne na obu przedziałach są dodatnie, a więc cały pręt jest rozciągany, wobec tego maksymalne przemieszczenie będzie na jego końcu (punkt A) \begin{aligned} &u_{max}=0,15 \ mm=0,15\cdot 10^{-3} \ m\\ &u_{max}=u_{A}=\Delta l_{BC}+\Delta l_{AB}\\ \end{aligned} Pola przekrojów poprzecznych na przedziale AB i BC \begin{aligned} &A_{AB}=\frac{\pi D^{2}}{4}\\ &A_{BC}=\frac{\pi D^{2}}{4} - \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi(D^{2}-d^{2})}{4}\\ \end{aligned} Wzór na wydłużenie części pręta \begin{aligned} &\Delta l = \frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ \end{aligned} Ostatecznie zapisuję i rozwiązuję warunek z treści zadania \begin{aligned} &\frac{3P\cdot 2}{E\cdot\frac{\pi D^{2}}{4}} + \frac{2P\cdot 3}{E\cdot\frac{\pi(D^{2}-d^{2})}{4}} \le 0,15\cdot 10^{-3} \ \ \ \ |\cdot E\pi\\ &\frac{24P}{D^{2}}\cdot (D^{2}-d^{2}) + \frac{24P}{D^{2}-d^{2}}\cdot (D^{2}-d^{2}) \le 0,15\cdot 10^{-3}\cdot\pi\cdot E\cdot (D^{2}-d^{2})\\ &\frac{24P}{D^{2}}\cdot D^{2} - \frac{24P}{D^{2}}\cdot d^{2} + 24P \le 0,15\cdot 10^{-3}\cdot\pi\cdot E\cdot D^{2} - 0,15\cdot 10^{-3}\cdot\pi\cdot E\cdot d^{2}\\ &48\cdot 15\cdot 10^{3} - 9\cdot 10^{6}\cdot d^{2}\le 1,6\cdot 10^{6} - 40,06\cdot 10^{6}\cdot d^{2}\\ &48\cdot 15\cdot 10^{3} - 1,6\cdot 10^{6} \le (-40,06\cdot 10^{6} + 9\cdot 10^{6})\cdot d^{2}\\ \\ &d^{2}\ge \frac{48\cdot 15\cdot 10^{3} - 1,6\cdot 10^{6}}{-40,06\cdot 10^{6} + 9\cdot 10^{6}}\\ \\ &d\ge \sqrt\frac{48\cdot 15\cdot 10^{3} - 1,6\cdot 10^{6}}{-40,06\cdot 10^{6} + 9\cdot 10^{6}}\\ &d\ge 0,168 \ m\\ &d\ge 16,8 \ cm\\ \end{aligned}Przykład 4
Treść
Oblicz średnicę pręta d oraz wydłużenie pręta\(\Delta_l\).
Dane: \(a=1 m, P=15 kN, q=8 \frac{kN}{m}, M=6 kNm, k_r=80 MPa, k_c=120 MPa, E=2\cdot10^5 MPa\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634422/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys10_zad4_mel9cq.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/h_500/v1645914662/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-15/statycznie_wyznaczalne004_01-903x1024_cxgo5s.png)
Siła w pręcie \begin{aligned} &\sum{M_A}=0\\ &-Pa+2qa\cdot 3a-M-S(2a\cdot sin60+2a\cdot cos60)=0\\ &S=\frac{-Pa+2qa\cdot 3a-M}{(2a\cdot sin60+2a\cdot cos60)}\\ &S=\frac{-15\cdot 1 + 2\cdot 8\cdot 3 - 6}{2\cdot\frac{\sqrt 3}{2}+2\cdot\frac{1}{2}}=9,88 \ kN\\ &S=9,88 kN\\ \end{aligned} Średnica z warunku wytrzymałościowego \begin{aligned} &\sigma=|\frac{N}{A}|\le k_{r},k_{c}\\ &A=\frac{\pi d^{2}}{4}\\ &N=9,88\cdot 10^{3} \ N\\ &k_{r}=80 \ MPa\\ &\frac{9,88\cdot 10^{3}}{\frac{\pi d^{2}}{4}} \le 80\cdot 10^{6}\\ &\frac{9,88\cdot 10^{3}\cdot 4}{80\cdot 10^{6}\cdot\pi}\le d^{2}\\ &d\ge 0,0125 \ m\\ &d\ge 1,25 \ cm\\ \end{aligned} Wydłużenie pręta \begin{aligned}\\ &\Delta l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ &A=\frac{\pi d^{2}}{4}\\ &d \ge 1,25 \ cm\\ &d=1,3 \ cm\\ &A=\frac{\pi(1,3\cdot 10^{-2})^{2}}{4}=1,33\cdot 10^{-4} \ m^{2}\\ &E=2\cdot 10^{5}\cdot 10^{6} Pa\\ &N=9,88\cdot 10^3 \ N\\ &\Delta l=\frac{9,88\cdot 10^{3}\cdot 1}{2\cdot 10^{11}\cdot 1,33\cdot 10^{-4}}=3,8\cdot 10^{-4} \ m=0,38 \ mm\\ \end{aligned}
Przykład 5
Treść
Oblicz na jakiej odległości x należy przyłożyć siłę skupioną P, aby wydłużenia prętów spowodowały równoległe przemieszczenia belki AB w dół. Wszystkie pręty mają jednakowy przekrój kołowy.
Dane: \(l=1 m, P=10 kN\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys11_zad5_gskvsl.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1645909636/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-10/x_01-1024x468_fosckw.png)
Obliczenie reakcji z równań równowagi statycznej \begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &P\cdot x - N_{3}\cdot 2l=0\\ &N_{3}=\frac{1}{2}Px\\ \\ &\sum{X}=0\\ &-N_{1}\cdot\sin\alpha + N_{2}\cdot\sin\alpha=0\\ &N_{1}=N_{2}\\ \\ &\sum{Y}=0\\ &N_{1}\cdot \cos\alpha + N_{2}\cos\alpha - P + N_{3}=0\\ &N_{1}\cdot\cos\alpha + N_{1}\cdot\cos\alpha=P- \frac{1}{2}Px\\ &N_{1}=\frac{P(1-\frac{1}{2}x)}{2\cdot\cos\alpha}\\ &\cos60^{o}=P(1-\frac{1}{2}x)\\ &N_{1}=P(1-\frac{1}{2}x)\\ &N_{2}=P(1-\frac{1}{2}x)\\ \end{aligned} Warunek geometryczny z treści zadania
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1645909637/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-10/x_02-1024x524_autoeg.png)
Aby belka przemieściła się równolegle w dół - przemieszczenie punktu A i B muszą być takie same \begin{aligned} &f_{A}=f_{B}\\ &f_{B}=\Delta l_{3}\\ &\frac{\Delta l_{2}}{f_{A}}=\cos60^{o}=\frac{1}{2}\\ &f_{A}=2\cdot\Delta l_{2}\\ &2\cdot\Delta l_{2}=\Delta l_{3}\\ \end{aligned} Obliczamy wydłużenia prętów \begin{aligned} &\Delta l=\frac{Nl}{EA}\\ &\Delta l_{2}=\frac{P(1-\frac{1}{2}x)\cdot 1}{EA}\\ &\Delta l_{3}=\frac{\frac{1}{2}Px\cdot 1}{EA}\\ \end{aligned} Podstawiamy do warunku geometrycznego i obliczamy położenie siły "x" \begin{aligned} &2\cdot\frac{P(1-\frac{1}{2}x)\cdot 1}{EA}=\frac{\frac{1}{2}Px\cdot 1}{EA} \ \ \ \ \ |\cdot EA\\ &2\cdot P(1-\frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}Px \ \ \ \ \ \ |:P\\ &x=\frac{4}{3} m\\ \end{aligned}
Przykład 6
Treść
Na wsporniku ABC składającym się z miedzianej podpory AB oraz stalowego cięgna AC zawieszono ciężar G=50kN. Określić średnicę D cięgna oraz wymiar a przekroju kwadratowego miedzianej podpory AB, przyjmując dane naprężenia dopuszczalne dla miedzi i stali. Określić przemieszczenie poziome i pionowe punktu A.
Dane: \( k_c (m)=40 MPa, k_r (st)=160 MPa, E_s=2,1\cdot 10^5 MPa, E_m=1,15\cdot 10^5 MPa, AB=1,2 m\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634422/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys12_zad6_n2mub0.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Rzutowanie siły w pręcie AC na składową poziomą i pionową.![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_400/v1646739636/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-24/statyczni_wyznaczalne0xx_02-300x143_hwfjxf.png)
Równania równowagi statycznej dla węzła A. \begin{aligned} &\sum{Y}=0\\ &N_{AC}\cdot\sin30^{o}=0\\ &N_{AC}=2G\\ &\sum{X}=0\\ &-N_{AB}-N_{AC}\cdot\cos30^{o}=0\\ &N_{AB}=-2G\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &N_{AB}=-G\sqrt3\\ \end{aligned} Warunek wytrzymałościowy
Odkładamy wydłużenia i skrócenia prętów (w ich osiach).
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_500/v1646739636/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-24/statyczni_wyznaczalne0xx_03-1024x540_o8kspi.png)
Obliczamy wydłużenie pręta AC (dodatnia siła w pręcie) oraz skrócenie pręta AB (siła ujemna - pręt ściskany). \begin{aligned} \Delta l &= \frac{Nl}{EA} \\ \Delta l_{AB} &= \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{E_{m} \cdot a^{2}} = \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{1.15 \cdot 10^{11} \cdot 0.047^{2}} = -4.09 \times 10^{-4} \ m = -0.409 \ mm \end{aligned} Obliczam długość pręta AC oraz jego wydłużenie. \begin{aligned} &\frac{1,2}{|AC|}=\cos30^{o} & \\ & |AC|=\frac{1,2}{\cos30^{o}}=1,386\\ &\Delta l_{AC}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot |AC|}{E_{s}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot 1,386\cdot 4}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\pi\cdot 0,03^{2}}=9,337\cdot 10^{-4} \ m=0,934 \ mm\\ \end{aligned} Zaznaczam dopuszczalną linię przemieszczeń wydłużonych/skróconych prętów i znajduję ich przecięcie - w to miejsce ostatecznie przemieści się punkt A.
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1646739636/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-24/statyczni_wyznaczalne0xx_04-1024x902_bt4gt7.png)
Zauważam zielony trójkąt, opisuję dwa z jego boków jako a,b oraz zauważam że jest on podobny do małego trójkąta a', b', \( \Delta l_{AB} \).
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1646739636/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-wyznaczalne/przyklad-24/statyczni_wyznaczalne0xx_05-902x1024_uidcsy.png)
Obliczam bok a. \begin{aligned} &a=a' + |\Delta l_{AC}|\\ &|\Delta l_{AC}|=0,934 \ mm\\ &\frac{|\Delta l_{AB}|}{a'}=\cos30^{o}\\ &a'=\frac{0,409}{\frac{\sqrt3}{2}}=0,47 \ mm\\ &a=0,47 + 0,934 = 1,404 \ mm \end{aligned} Obliczam bok b. \begin{aligned} &b=b' + \Delta_{y}\\ &\frac{b'}{a'}=sin30^{o}\\ &b'=0,47\cdot 0,5 = 0,235 \ mm\\ &\frac{a}{b}=\sin30^{o}\\ &b=\frac{a}{sin30^{o}}=\frac{1,404}{0,5}\\ &b=2,808 \ mm\\ \end{aligned} Obliczam przemieszczenie pionowe i poziome punktu A. \begin{aligned} &\Delta_{y}=b-b'\\ &\Delta_{y}=2,808 - 0,235 = 2,573 \ mm\\ &\Delta_{x}=\Delta l_{AB} = 1,438 \ mm\\ \end{aligned}
Przykład 7
Treść
Dwustopniowy pręt został trwale utwierdzony końcem A, końcem D i obciążony siłami jak na rysunku. Obliczyć reakcję w utwierdzeniach, wskazać w której części pręta powstają największe naprężenia.
Dane: \( A_1=2\cdot A_2, 2\cdot E_1=E_2 \)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634422/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys13_zad7_cuzpqt.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Obliczenie reakcji![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1644745559/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-niewyznaczalne/przyklad-01/statyczne_niewyznaczalne001_02_grsz8g.png)
Przykład 8
Treść
Belka zamocowana przegubowo i zaczepiona dwoma prętami obciążona jest obciążeniem ciągłym. Z warunku wytrzymałościowego policz średnicę prętów.
Dane: \( A_1=A_2, E_1=2\cdot E_2, k_r=60\ MPa, k_c=90\ MPa \)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys14_zad8_jmgzk5.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Zaznaczam reakcje podporowe oraz siły w prętach kratowych![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1644746452/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-niewyznaczalne/przyklad-02/statyczne_niewyznaczalne007_01-1024x766_iwfze0.png)
Zapisuję jedno równanie równowagi statycznej - takie w którym niewiadome będą siły w prętach \( N_1, N_2 \) \begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &N_{1}\cdot 2 - N_{2}\cdot \sin\alpha\cdot 6 + 8\cdot 4\cdot 4=0\\ &N_{1}=3N_{2}\cdot\sin\alpha - 64\\ &\sin\alpha=\frac{3}{5} & \cos\alpha=\frac{4}{5}\\ &N_{1}=1,8N_{2}-64\\ \end{aligned} Rozrysowuję plan przemieszczeń, aby rozpisać warunek geometryczny (zależność pomiędzy przemieszczeniami z podobieństwa trójkątów)
Pręty mogą wydłużać się w swoich osiach, natomiast dopuszczalna linia przemieszczeń wydłużonego/skróconego końca pręta jest na kierunku prostopadłym do osi pręta.
Dodatkowo pamiętam, że każdy punkt nieodkształcalnej poziomej belki może się znaleźć na kierunku prostopadłym do tej osi.
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1644746452/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-niewyznaczalne/przyklad-02/statyczne_niewyznaczalne007_02-1024x922_uzba8m.png)
Warunek geometryczny \begin{aligned} &\frac{f_{B}}{2}=\frac{f_{A}}{6}\\ &\frac{\Delta l_{2}}{f_{A}}=\sin\alpha \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f_{A}=\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}\\ &f_{B}=\Delta l_{1}\\ &\frac{\Delta l_{1}}{2}=\frac{\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}}{6}\\ &6\sin\alpha\cdot\Delta l_{1}=2\cdot\Delta l_{2}\\ &6\cdot 0,6\cdot\frac{-N_{1}\cdot 3}{E_{1}\cdot A_{1}}=2\cdot\frac{N_{2}\cdot 5}{E_{2}\cdot A_{2}}\\ &\frac{-10,8N_{1}}{2E_{2}\cdot A_{2}}=\frac{10N_{2}}{E_{2}\cdot A_{2}} \ \ \ \ \ \ \ \ |\cdot E_{2}A_{2}\\ &-5,4N_{1}=10N_{2}\\ &N_{1}=-1,85N_{2} \end{aligned} Otrzymujemy drugą zależność pomiędzy \(N_1 \) oraz \(N_2 \), wracamy do pierwszej zależności i obliczamy siły w prętach
\begin{aligned} &N_{1}=1,85N_{2}-64\\ &-1,85N_{2}=1,8N_{2}-64\\ \\ &N_{2}=17,53 \ kN\\ &N_{1}=-32,43 \ kN\\ \end{aligned} Warunek wytrzymałościowy \begin{aligned} &\sigma=\frac{|N|}{A}\le k\\ \end{aligned} \begin{array}{ll} \sigma_{1}=\frac{32,43 \cdot 10^{3}}{A} \leq 90 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 3,6 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \sigma_{2}=\frac{17,53 \cdot 10^{3}}{A} \leq 60 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 2,92 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \end{array} Decyduje pierwszy warunek, przyjmuję: \begin{array}{ll}A=3,65 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} & \Rightarrow d=0,0215 \mathrm{~m}=2,15 \mathrm{~cm} \\ A=\frac{\pi d^{2}}{4} \end{array}
Przykład 9
Treść
Drewniana belka podwieszona jest na trzech prętach - pierwszy i trzeci wykonane są ze stali, drugi jest miedziany, o długościach \( l_1=3m, l_2=2m, l_3=4m \)
Oblicz jakie naprężenia powstają w prętach.
Dane:
\( k_{r_st}=120 MPa, k_{r_m}=30 MPa, A_1=A_2=2\cdot A_3, E_2=105 GPa, E_1=E_3=210 GPa\)
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/v1697634421/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/teoria/rys15_zad9_egzfoy.png)
Kurs wideo
Rozwiązanie
Rozwiązanie - Kliknij, aby rozwinąć
Suma rzutów sił na oś x nic nam nie daje, więc mamy dwa efektywne równania równowagi statycznej. Niewiadome są siły w trzech prętach, a więc zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne, do jego rozwiązanie musimy wykorzystać dodatkowy warunek - geometryczny (z planu przemieszczeń).Równania równowagi:
\begin{aligned} &\sum{M_{C}}=0\\ &N_{1}\cdot 4 - 75\cdot 2 - N_{3}\cdot 4 = 0\\ &N_{1}=\frac{150 + 4\cdot N_{3}}{4}\\ &N_{1}=37,5 + N_{3}\\ &\sum{Y}=0\\ &N_{1} - 75 + N_{2} + N_{3} =0\\ &37,5 + N_{3} - 75 + N_{3}=-N_{2}\\ &N_{2}=37,5 - 2N_{3} \end{aligned}
![](https://res.cloudinary.com/dqjaepf4b/image/upload/w_600/v1644944450/Edupanda_PL/wytrzymalosc_materialow/rozciaganie-i-sciskanie-osiowe/statycznie-niewyznaczalne/przyklad-03/statyczne_niewyznaczalne003_02-1024x788_ysyphu_hng3a8.png)
Warunek geometryczny \begin{aligned} &\frac{\Delta l_{3}-\Delta l_{1}}{8}=\frac{\Delta l_{2}-\Delta l_{1}}{4}\\ \end{aligned} Przekształcam i rozwiązuję warunek geometryczny \begin{aligned} &\Delta l_{3}-\Delta l_{1}=2(\Delta l_{2}-\Delta l_{1})\\ &\Delta l_{3}+\Delta l_{1}-2\cdot \Delta l_{2}=0\\ &\Delta l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\ &\frac{N_{3}\cdot 4}{E_{3}\cdot A_{3}}+\frac{N_{1}\cdot 3}{E_{1}\cdot A_{1}}-2\cdot \frac{N_{2}\cdot 2}{E_{2}\cdot A_{2}}=0 \end{aligned} Z treści zadania: \begin{aligned} &A_{1}=A_{2}=2A_{3}\\ &\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{105 \ GPa}{210 \ GPa}=\frac{1}{2} & \Rightarrow 2E_{2}=E_{1}\\ &E_{1}=E_{3}\\ \end{aligned} Podstawiam te zależności do wcześniejszego równania \begin{aligned} &\frac{N_{3}\cdot 4}{2E_{2}\cdot A_{3}}+\frac{(37,5 + N_{3})\cdot 3}{2E_{2}\cdot 2A_{3}} - 2\cdot\frac{(37,5 - 2N_{3})\cdot 2}{E_{2}\cdot 2A_{3}}=0 & |\cdot E_{2}A_{3}\\ &2N_{3} + \frac{3}{4}(37,5 + N_{3}) - 2(37,5 - 2M_{3})=0\\ &2N_{3} + 28,125 + 0,75N_{3} - 75 + 2N_{3}\\ &4,75N_{3}=46,875\\ &N_{3}=9,868 \ kN \end{aligned} Wracam do zależności z równań równowagi statycznej i obliczam siły w pozostałych prętach \begin{aligned} &N_{1}=37,5 + N_{3}=47,368 \ kN\\ &N_{2}=37,5 - 2N_{3}=17,764 \ kN\\ \end{aligned} Rozwiązuję warunek wytrzymałości dla wszystkich prętów \begin{aligned} &\sigma=\frac{N}{A}\\ &\sigma_{1}=\frac{47,368\cdot 10^{3}}{A_{1}}\le 120\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{1}\ge 3,95\cdot 10^{-4} \ m^{2}\\ &\sigma_{2}=\frac{17,764\cdot 10^{3}}{A_{2}}\le 30\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{2}\ge 5,92\cdot 10^{-4} \ m^{2}\\ &\sigma_{3}=\frac{9,868\cdot 10^{3}}{A_{3}}\le 120\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{3}\ge 8,22\cdot 10^{-5} \ m^{2}\\ \end{aligned} Przyjmuję ostatecznie pole przekroju dla prętów pamiętając o zależności z treści zadania \begin{aligned} &A_{1}=A_{2}=2A_{3}\\ &A_{1}=A_{2}=6\cdot 10^{-4}\\ &A_{3}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10^{-4}=3\cdot 10^{-4}\\ \end{aligned} Obliczam naprężenia w prętach dla przyjętego pola przekroju poprzecznego \begin{aligned} &\sigma_{1}=\frac{47,368\cdot 10^{3}}{6\cdot 10^{-4}}=78,95 \ MPa\\ &\sigma_{2}=\frac{17,764\cdot 10^{3}}{6\cdot 10^{-4}}=29,60 \ MPa\\ &\sigma_{3}=\frac{9,868\cdot 10^{3}}{3\cdot 10^{-4}}=32,89 \ MPa\\ \end{aligned}
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz 4 zadania z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
pojedyncze pręty
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz 17 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie wyznaczalne)
układy prętów
Zobacz wideo-kurs z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz 11 zadań z tego działu!
(rozciąganie statycznie niewyznaczalne)
Zobacz zadania z użyciem podstawowych definicji